एकीकरण नियम को कैसे कार्यान्वित करें?

Question

मान लीजिए कि मैंने नीचे पहचान की जांच की है, इसे गणित में कैसे कार्यान्वित किया जाए? आप अनुरोध क्या शायद बिल्ट-इन कार्य करने के लिए नियम जोड़ने शामिल होगा करने के लिए

(* {\[Alpha] \[Element] Reals, \[Beta] \[Element] Reals, \[Mu] \[Element] Reals, \[Sigma] > 0} *) 

Integrate[CDF[NormalDistribution[0, 1], \[Alpha] + \[Beta] x] PDF[ 
NormalDistribution[\[Mu], \[Sigma]], 
x], {x, -\[Infinity], \[Infinity]}] -> CDF[NormalDistribution[0, 1], (\[Alpha] + 
\[Beta] \[Mu])/Sqrt[1 + \[Beta]^2 \[Sigma]^2]] 

Answer 1

अधिकांश तरीके (जैसे Integrate, CDF, PDF, आदि), एक अच्छा विकल्प नहीं हो सकता है। यहाँ एक थोड़ा नरम रास्ता Block चाल का उपयोग कर रहा है, - आधारित मैक्रो: स्वचालित रूप से

In[27]:= 
withIntegrationRule[a=Integrate[CDF[NormalDistribution[0,1],\[Alpha]+\[Beta] x] 
    PDF[NormalDistribution[\[Mu],\[Sigma]],x],{x,-\[Infinity],\[Infinity]}]]; 
a 

Out[28]= 1/2 Erfc[-((\[Alpha]+\[Beta] \[Mu])/(Sqrt[2] Sqrt[1+\[Beta]^2 \[Sigma]^2]))] 

जब हमारे नियम से मेल नहीं करता है, यह अभी भी काम करेगा,:

ClearAll[withIntegrationRule]; 
SetAttributes[withIntegrationRule, HoldAll]; 
withIntegrationRule[code_] := 
    Block[{CDF, PDF, Integrate, NormalDistribution}, 
     Integrate[ 
     CDF[NormalDistribution[0, 1], \[Alpha]_ + \[Beta]_ x_] PDF[ 
      NormalDistribution[\[Mu]_, \[Sigma]_], x_], {x_, -\[Infinity], \[Infinity]}] := 
       CDF[NormalDistribution[0, 1], (\[Alpha] + \[Beta] \[Mu])/ 
        Sqrt[1 + \[Beta]^2 \[Sigma]^2]]; 
     code]; 

यहाँ कैसे हम इसे उपयोग कर सकते हैं सामान्य मूल्यांकन मार्ग का उपयोग करने जा:

In[36]:= 
    Block[{$Assumptions = \[Alpha]>0&&\[Beta]==0&&\[Mu]>0&&\[Sigma]>0}, 
    withIntegrationRule[b=Integrate[CDF[NormalDistribution[0,1],\[Alpha]+\[Beta] x] 
     PDF[NormalDistribution[\[Mu],\[Sigma]],x],{x,0,\[Infinity]}]]] 

Out[36]= 1/4 (1+Erf[\[Alpha]/Sqrt[2]]) (1+Erf[\[Mu]/(Sqrt[2] \[Sigma])]) 

जहाँ मैं मान्यताओं में 0 को \[Alpha] सेट एक बंद के रूप में एकीकरण संभव बनाने के लिए।

एक और विकल्प आपके अपने विशेष उद्देश्य इंटीग्रेटर को लागू करने के लिए हो सकता है।