numpy.fft.fft कैसे काम करता है?

Question

मैं वर्तमान में fpy-function को numpy से समझने की कोशिश कर रहा हूं। इसके लिए मैंने निम्नलिखित धारणा का परीक्षण किया:
मेरे पास दो कार्य हैं, f(x) = x^2 और g(x) = f'(x) = 2*x। चौकोर परिवर्तन कानूनों और wolfram अल्फा के अनुसार यह G(w) = 2pi*i*F(w) होना चाहिए (prefactors भिन्न हो सकते हैं, लेकिन केवल एक स्थिर कारक होना चाहिए)। जब लागू करने अजगर में, मैं लिखने कि

import numpy as np 
def x2(x): 
    return x*x 
def nx(x): 
    return 2*x 

a = np.linspace(-3, 3, 16) 
a1 = x2(a) 
a2 = nx(a) 

b1 = np.fft.fft(a1) 
b2 = np.fft.fft(a2) 

c = b1/b2 

अब मैं c के लिए एक लगभग स्थिर मूल्य की उम्मीद कर रहा हूँ, लेकिन मैं

array([ 1.02081592e+16+0.j  , 1.32769987e-16-1.0054679j , 
     4.90653893e-17-0.48284271j, -1.28214041e-16-0.29932115j, 
     -1.21430643e-16-0.2j  , 5.63664751e-16-0.13363573j, 
     -5.92271642e-17-0.08284271j, -4.21346622e-16-0.03978247j, 
     -5.55111512e-16-0.j  , -5.04781597e-16+0.03978247j, 
     -6.29288619e-17+0.08284271j, 8.39500693e-16+0.13363573j, 
     -1.21430643e-16+0.2j  , -0.00000000e+00+0.29932115j, 
     -0.00000000e+00+0.48284271j, 1.32769987e-16+1.0054679j ]) 

मिल कहाँ मेरी गलती है, और मैं fft उपयोग करने के लिए क्या कर सकते हैं जैसा सोचा वैसा?

Answer 1

आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली संपत्ति Continuous Fourier transform (CFT) पर लागू होती है। एफएफटी द्वारा गणना की गई है Discrete Fourier transform (डीएफटी), जो सीएफटी से संबंधित है लेकिन बिल्कुल बराबर नहीं है।

यह सच है कि डीएफटी कुछ स्थितियों के तहत सीएफटी के आनुपातिक है: अर्थात् नमूना सीमाओं के बाहर शून्य के फ़ंक्शन के पर्याप्त नमूनाकरण के साथ (उदाहरण के लिए this book का परिशिष्ट ई देखें)।

कोई भी शर्त ऊपर दिए गए कार्यों के लिए नहीं है, इसलिए डीएफटी सीएफटी के समान नहीं है और आपके संख्यात्मक परिणाम इसे दर्शाते हैं।

import numpy as np 

def f(x): 
    return np.exp(-x ** 2) 
def fprime(x): 
    return -2 * x * f(x) 

a = np.linspace(-10, 10, 100) 
a1 = f(a) 
a2 = fprime(a) 

b1 = np.fft.fft(a1) 
b2 = np.fft.fft(a2) 
omega = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(len(a), a[1] - a[0]) 

np.allclose(b1 * 1j * omega, b2) 
# True