यूलेर एकीकरण से वेरलेट एकीकरण बेहतर क्यों है?

Question

क्या कोई मुझे समझा सकता है कि वेलेर एकीकरण यूलर एकीकरण से बेहतर क्यों है? और क्यों आरके 4 वेरलेट से बेहतर है? मुझे समझ में नहीं आता कि यह एक बेहतर तरीका क्यों है।

Answer 1

सब कुछ एक रेखीय तरह से साथ तटों हैं, तो इससे कोई फर्क नहीं होता क्या विधि आप का इस्तेमाल किया है, लेकिन जब कुछ दिलचस्प (यानी नॉन-लीनियर) होता है, आप, अधिक ध्यान से देखने के लिए या तो गैर विचार करके की जरूरत है -लाइनता सीधे (verlet) या छोटे timesteps (आरके 4) ले कर।

Answer 2

Euler method पहला ऑर्डर एकीकरण योजना है, यानी कुल त्रुटि चरण आकार के आनुपातिक है। हालांकि, यह संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो सकता है, दूसरे शब्दों में, संचित त्रुटि गणना को आप को बकवास दे सकती है। कृपया ध्यान दें, यह अस्थिरता इस बात पर ध्यान दिए बिना हो सकती है कि आप चरण आकार कैसे बनाते हैं या सिस्टम रैखिक है या नहीं। मैं वर्लेट एकीकरण से परिचित नहीं हूं, इसलिए मैं इसकी प्रभावकारिता से बात नहीं कर सकता। लेकिन, Runge-Kutta methods केवल स्तरीय आकार से अधिक में यूलर विधि से भिन्न है।

संक्षेप में, वे व्युत्पन्न रूप से व्युत्पन्न को अनुमानित करने के बेहतर तरीके पर आधारित हैं। सटीक विवरण इस समय मुझे बचें। आम तौर पर, चौथे क्रम में रंज-कुट्टा विधि को एकीकरण योजनाओं का कार्यकर्ता माना जाता है, लेकिन इसमें disadvantages है। यह थोड़ा अपमानजनक है, यानी आपकी गणना में एक छोटा पहला व्युत्पन्न निर्भर शब्द जोड़ा जाता है जो एक अतिरिक्त घर्षण जैसा दिखता है। इसके अलावा, इसमें एक निश्चित चरण आकार है जिसके परिणामस्वरूप आपकी इच्छित सटीकता को प्राप्त करना मुश्किल हो सकता है। वैकल्पिक रूप से, आप Runge-Kutta-Fehlberg method जैसे अनुकूली स्टेपनाइज़ेशन स्कीम का उपयोग कर सकते हैं, जो अतिरिक्त 6 फ़ंक्शन मूल्यांकनों के लिए पांचवें ऑर्डर सटीकता देता है। here दिखाए गए अनुसार, सटीकता में सुधार करते समय यह आपकी गणना करने के लिए आवश्यक समय को बहुत कम कर सकता है।

Answer 3

ऊर्जा संरक्षण के साथ सिस्टम सिमुलेट करने में वेरलेट विधि अच्छी है, और इसका कारण यह है कि यह सहानुभूतिपूर्ण है। इस कथन को समझने के लिए आपको अपने सिमुलेशन में फ़ंक्शन के रूप में एक समय चरण का वर्णन करना होगा, एफ, जो राज्य की स्थिति को स्वयं ही मानचित्रित करता है। दूसरे शब्दों में प्रत्येक टाइमस्टेप को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है।

(एक्स (टी + डीटी), वी (टी + डीटी)) = f (x (टी), वी (टी))

समय कदम समारोह, एफ, के Verlet विधि विशेष है संपत्ति जो यह राज्य-अंतरिक्ष मात्रा को संरक्षित करती है। हम इसे गणितीय शर्तों में लिख सकते हैं। यदि आपके पास राज्य अंतरिक्ष में राज्यों का एक सेट ए है, तो आप 0 (30)

f (ए) = {एफ (x) | एक्स में ए}

अब हम मान लें कि सेट ए और एफ (ए) चिकनी और अच्छी हैं इसलिए हम उनकी मात्रा को परिभाषित कर सकते हैं। फिर एक सहानुभूतिपूर्ण नक्शा, एफ, हमेशा पूरा करेगा कि एफ (ए) की मात्रा ए की मात्रा के समान है (और यह ए के सभी अच्छे और चिकनी विकल्पों के लिए पूरी होगी)। यह वेरलेट विधि के समय चरण समारोह द्वारा पूरा किया जाता है, और इसलिए वेरलेट विधि एक सहानुभूतिपूर्ण विधि है।

अब अंतिम प्रश्न है। ऊर्जा संरक्षण के साथ सिस्टम को अनुकरण करने के लिए एक सहानुभूतिपूर्ण विधि क्यों अच्छी है, लेकिन मुझे डर है कि आपको इसे समझने के लिए एक पुस्तक पढ़नी होगी।