पता लगाएं कि मैट्रिक्स सकारात्मक है, numpy

Question

के साथ सकारात्मक है, मुझे यह पता लगाना होगा कि मैट्रिक्स positive definite है या नहीं। मेरा मैट्रिक्स numpy मैट्रिक्स है। मैं numpy पुस्तकालय में कोई संबंधित विधि खोजने की उम्मीद कर रहा था, लेकिन कोई सफलता नहीं। मैं किसी भी मदद की सराहना करता हूं।

Answer 1

तुम भी जाँच कर सकते हैं सभी मैट्रिक्स eigenvalues ​​के सकारात्मक रहे हैं, यदि ऐसा है तो मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है:

import numpy as np 

def is_pos_def(x): 
    return np.all(np.linalg.eigvals(x) > 0) 

Answer 2

आप Cholesky अपघटन (numpy.linalg.cholesky) की गणना करने का प्रयास कर सकते हैं। यदि मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित नहीं है तो यह LinAlgError बढ़ाएगा।

Answer 3

मैं नहीं जानता कि क्यों एनपीई का समाधान तो underrated है। ऐसा करने का यह सबसे अच्छा तरीका है। मुझे Wkipedia पर मिला है कि जटिलता घन है।

इसके अलावा, ऐसा कहा जाता है कि यह लू अपघटन की तुलना में अधिक संख्यात्मक रूप से स्थिर है। और लू अपघटन सभी eigenvalues ​​खोजने की विधि से अधिक स्थिर है।

और, यह एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण समाधान है, क्योंकि यह एक तथ्य है:

एक मैट्रिक्स एक Cholesky अपघटन यदि और केवल यदि यह सममित सकारात्मक है।

तो गणित का उपयोग क्यों नहीं करते? हो सकता है कि कुछ लोग अपवाद के उदय से डरते हैं, लेकिन यह भी सच है, अपवादों के साथ कार्यक्रम के लिए यह काफी उपयोगी है।

Answer 4

वास्तविक मैट्रिक्स $ ए $ के लिए, हमारे पास $ x^TAx = \ frac {1} {2} (x^टी (ए + ए^टी) x) $, और $ ए + ए^टी $ है सममित वास्तविक मैट्रिक्स है। तो $ ए $ सकारात्मक निश्चित है iff $ ए + ए^टी $ सकारात्मक निश्चित है, अगर $ ए + ए^टी $ के सभी eigenvalues ​​सकारात्मक हैं।

import numpy as np 

def is_pos_def(A): 
    M = np.matrix(A) 
    return np.all(np.linalg.eigvals(M+M.transpose()) > 0) 

Answer 5

कुछ रेडी-टू-उपयोग कोड के साथ @ एनपीई का जवाब समझने के लिए: एनपी के रूप में

आयात numpy (

def is_pd(K): 
    try: 
     np.linalg.cholesky(K) 
     return 1 
    except np.linalg.linalg.LinAlgError as err: 
     if 'Matrix is not positive definite' in err.message: 
      return 0 
     else: 
    raise 

Answer 6

वहाँ ऊपर जवाब में से सभी में एक छोटा सा भ्रम होने लगता है कम से कम सवाल से संबंधित)।

असली matrices के लिए, सकारात्मक eigenvalues ​​के लिए परीक्षण और np.linalg.cholesky में सकारात्मक अग्रणी शब्द केवल मैट्रिक्स सममित है लागू होता है। तो पहले मैट्रिक्स सममित है या नहीं और फिर उन विधियों में से एक (सकारात्मक eigenvalues ​​या Cholesky अपघटन) लागू करने के लिए परीक्षण करने की जरूरत है।

उदाहरण के लिए:

import numpy as np 

#A nonsymmetric matrix 
A = np.array([[9,7],[6,14]]) 

#check that all eigenvalues are positive: 
np.all(np.linalg.eigvals(A) > 0) 

#take a 'Cholesky' decomposition: 
chol_A = np.linalg.cholesky(A) 

मैट्रिक्स एक सममित नहीं है, लेकिन eigenvalues ​​सकारात्मक रहे हैं और Numpy एक Cholesky अपघटन कि गलत है देता है। आप देख सकते हैं कि:

chol_A.dot(chol_A.T) 

ए

तुम भी जाँच कर सकते हैं कि सभी अजगर ऊपर कार्यों 'सकारात्मक-निश्चितता' के लिए सकारात्मक का परीक्षण होगा की तुलना में अलग है।

>np.linalg.inv(A) 
array([[ 0.16666667, -0.08333333], 
    [-0.07142857, 0.10714286]]) 

>np.linalg.inv(chol_A.T).dot(np.linalg.inv(chol_A)) 
array([[ 0.15555556, -0.06666667], 
    [-0.06666667, 0.1  ]]) 

अलग हैं: यह संभवतः एक गंभीर समस्या है, तो आप, उलटा गणना करने के लिए Cholesky अपघटन उपयोग करने के लिए कोशिश कर रहे थे के बाद से हो सकता है।

def is_pos_def(A): 
    if np.array_equal(A, A.T): 
     try: 
      np.linalg.cholesky(A) 
      return True 
     except LinAlgError: 
      return False 
    else: 
     return False 

आप np.array_equal को बदलने के लिए चाहते हो सकता है (ए, एटी):

सारांश में, मैं अगर मैट्रिक्स सममित है की जाँच करने के, उदाहरण के लिए ऊपर किसी भी कार्य के लिए एक लाइन जोड़ने का सुझाव फ्लोटिंग पॉइंट त्रुटियों के कारण होने वाले मतभेदों से बचने के लिए np.allclose (ए, एटी) के लिए उपरोक्त फ़ंक्शन में।