हाइपरजैमेट्रिक फ़ंक्शंस का कुशल मूल्यांकन

Question

क्या किसी को हाइपरजैमेट्रिक फ़ंक्शंस का मूल्यांकन करने के लिए एल्गोरिदम के साथ अनुभव है? मुझे सामान्य संदर्भों में दिलचस्पी होगी, लेकिन अगर किसी ने इसका सामना किया है तो मैं अपनी विशेष समस्या का वर्णन करूंगा।

मेरी विशिष्ट समस्या फॉर्म 3F2 (ए, बी, 1; सी, डी; 1) के एक फ़ंक्शन का मूल्यांकन कर रही है जहां ए, बी, सी, और डी सभी सकारात्मक वास्तविक हैं और सी + डी> ए + बी + 1। ऐसे कई विशेष मामले हैं जिनमें बंद फॉर्म फॉर्मूला है, लेकिन जहां तक ​​मुझे पता है कि सामान्य रूप से ऐसे कोई सूत्र नहीं हैं। शून्य पर केंद्रित पावर श्रृंखला 1 पर परिवर्तित होती है, लेकिन बहुत धीरे-धीरे; लगातार गुणांक का अनुपात सीमा में 1 तक जाता है। शायद एटकेन त्वरण की तरह कुछ मदद करेगा?

Answer 1

क्या यह सही है कि आप एक श्रृंखला को जोड़ना चाहते हैं जहां आप लगातार शर्तों का अनुपात जानते हैं और यह एक तर्कसंगत कार्य है?

मुझे लगता है कि Gosper's algorithm और hypergeometric identities (और उन्हें ढूंढने) साबित करने के लिए शेष उपकरण ठीक है, है ना? (विल्फ और ज़ीलबर्गर A=B book online. देखें)

Answer 2

मैंने एटकेन त्वरण का परीक्षण किया और यह इस समस्या के लिए मदद नहीं करता है (न ही रिचर्डसन एक्सट्रापोलेशन)। इसका शायद मतलब है कि पेड सन्निकटन या तो काम नहीं करता है। हालांकि मैंने कुछ गलत किया होगा, इसलिए हर तरह से इसे अपने लिए आज़माएं।

मैं दो दृष्टिकोणों के बारे में सोच सकता हूं।

किसी को किसी बिंदु पर श्रृंखला का मूल्यांकन करना है जैसे z = 0.5 जहां अभिसरण प्रारंभिक मान प्राप्त करने के लिए तेज़ है और फिर hypergeometric differential equation को ओडीई सॉल्वर में प्लग करके z = 1 पर आगे बढ़ें। मुझे नहीं पता कि यह अभ्यास में कितनी अच्छी तरह से काम करता है; ऐसा नहीं हो सकता है, z = 1 एकवचन होने के कारण (अगर मुझे सही याद है)।

दूसरा Meijer G-function के संदर्भ में 3F2 की परिभाषा का उपयोग करना है। मेजर जी-फ़ंक्शन को परिभाषित समोच्च अभिन्न अंग का आकलन गौसियन या दोगुनी-घातीय चतुर्भुज को समोच्च के हिस्सों में लागू करके किया जा सकता है। यह बहुत कुशल नहीं है, लेकिन इसे काम करना चाहिए, और इसे अपेक्षाकृत उच्च परिशुद्धता के लिए स्केल करना चाहिए।