गोल मेज में व्यक्तियों को कितने अलग-अलग संभावित तरीके से बैठे जा सकते हैं?

Question

मैं एक एल्गोरिदम विकसित कर रहा हूं और एक निष्कर्ष पर पहुंचने से पहले पुनरावृत्तियों की अधिकतम संख्या की संभावना को देख रहा हूं।

असली दुनिया में, यह शास्त्रीय गोल मेज बैठने की समस्या के समान है। क्या आप कृपया मुझे दोहराए बिना किसी गोल तालिका में एन व्यक्तियों को बैठने की अधिकतम संख्या बता सकते हैं?

धन्यवाद

Answer 1

चलिए इस समस्या के समाधान के माध्यम से पता लगाते हैं।

सबसे पहले, देखते हैं कि हम लाइन में एन लोगों को कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं। ऐसे कई अलग-अलग लोग हैं जिन्हें हम लाइन के सामने रखना चुन सकते हैं। एन -1 में से जो रहता है, उनमें से किसी भी एन -1 को दूसरे स्थान पर रखा जा सकता है। एन -2 जो रहते हैं, उनमें से किसी भी एन -2 को तीसरे स्थान पर रखा जा सकता है। अधिक आम तौर पर, हमें फॉर्मूला

संख्या व्यवस्था = एनएक्स (एन -1) एक्स (एन - 2) एक्स ... एक्स 1 = एन!

तो एन हैं! एक लाइन में लोगों को अनुमति देने के विभिन्न तरीकों। अधिक आम तौर पर, एन हैं! एन अद्वितीय तत्वों को पुन: व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीके।

अब, जब हम लोगों को अंगूठी में व्यवस्थित करते हैं तो क्या होता है? प्रत्येक रैखिक क्रमपरिवर्तन के लिए, हम उस व्यवस्था को दो सिरों को जोड़कर एक अंगूठी व्यवस्था में परिवर्तित कर सकते हैं।

1 2 3 
1 3 2 
2 1 3 
2 3 1 
3 1 2 
3 2 1 

निम्नलिखित के छल्ले के लिए ये नक्शा: उदाहरण के लिए, तीन लोगों के साथ, वहाँ एक पंक्ति में उन्हें ऑर्डर करने के लिए छह तरीके हैं

  1 
1 2 3 ->/\ 
     3---2 

      1 
1 3 2 ->/\ 
     2---3 

      2 
2 1 3 ->/\ 
     3---1 

      2 
2 3 1 ->/\ 
     1---3 

      3 
3 1 2 ->/\ 
     2---1 

      3 
3 2 1 ->/\ 
     1---2 

हालांकि, हम इस से यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं कि एन में बैठने की व्यवस्था की संख्या! क्योंकि हमने यहां कई बार एक ही बैठने की व्यवस्था बनाई है। एक चाल के रूप में, मान लें कि हम हमेशा चक्र लिखते हैं ताकि 1 चक्र के शीर्ष पर हो।

  1 
1 2 3 ->/\ 
     3---2 

      1 
1 3 2 ->/\ 
     2---3 

      1 
2 1 3 ->/\ 
     2---3 

      1 
2 3 1 ->/\ 
     3---2 

      1 
3 1 2 ->/\ 
     3---2 

      1 
3 2 1 ->/\ 
     2---3 

सूचना है कि हमें निम्न बना लेने के बाद: फिर हम निम्नलिखित चक्र बना लेने के बाद

1    1 
/\ x3  /\ x3 
2---3   3---2 

तो सच में, वहाँ रहे हैं केवल दो अलग व्यवस्था; हमने अभी उनमें से प्रत्येक को तीन बार उत्पन्न किया है।

इसका कारण यह है कि अंगूठी की कोई निश्चित शुरुआत और अंत बिंदु नहीं है, हम अलग-अलग व्यवस्थाओं के कई घूर्णन उत्पन्न कर देंगे। विशेष रूप से, यदि ऐसे लोग हैं जिन्हें हमें सीट करने की ज़रूरत है, तो हम उसी घूर्णन की अलग-अलग प्रतियां उत्पन्न करेंगे, जिनमें से प्रत्येक अलग-अलग मेहमानों के शीर्ष पर होगा। नतीजतन, विभिन्न अंगूठियों के लिए मेहमानों की कुल संख्या प्राप्त करने के लिए, हमें उनमें से एक को अनदेखा करने की आवश्यकता है।चूंकि प्रत्येक अंगूठी की अलग-अलग प्रतियां हैं, इसका मतलब है कि कुल संख्या

n द्वारा दी गई है!/एन = (एन -1)!

तो वहां (एन -1) हैं! एक अंगूठी में लोगों को सीट करने के विभिन्न तरीके।

आशा है कि इससे मदद मिलती है!

Answer 2

क्लासिक क्रमचय समस्या: दो वर्गों में यह तोड़: 1) सभी संभव संयोजनों 2) फूट डालो शुरू करने स्थानों की संख्या (क्योंकि वे कोई बात नहीं के रूप में एन) द्वारा

मैं प्राप्त करें (एन -1)! संभावनाओं। क्या मुझसे यहां कुछ छूट रहा है? (मैं आँकड़े ज्यादा नहीं करता, इसलिए मैं थोड़ी सी जंगली हूं)