एक बहुपद को दूसरे समन्वय प्रणाली में कैसे बदल सकता है?

Question

मिश्रित मैट्रिक्स गणित का उपयोग करना, मैं

Ax^(n-1) + Bx^(n-2) + ... + Z 

डिग्री के एक बहुपद के लिए गुणांक में जिसके परिणामस्वरूप समीकरणों की एक प्रणाली 'एन' मैं तो एक दिया एक्स सीमा पर बहुपद evaulate समाधान कर लिया है, अनिवार्य रूप से मैं प्रतिपादन कर रहा हूँ बहुपद वक्र। अब पकड़ है। मैंने यह काम एक समन्वय प्रणाली में किया है जिसे हम "डेटा स्पेस" कहते हैं। अब मुझे एक और समन्वय अंतरिक्ष में वही वक्र पेश करने की जरूरत है। समन्वय रिक्त स्थान से इनपुट और आउटपुट को बदलना आसान है, लेकिन अंतिम उपयोगकर्ता केवल गुणांक [ए, बी, ...., जेड] में रूचि रखता है क्योंकि वे अपने आप पर बहुपद का पुनर्निर्माण कर सकते हैं। मैं गुणांक [ए ', बी', ...., जेड] का दूसरा सेट कैसे प्रस्तुत कर सकता हूं जो एक अलग समन्वय प्रणाली में समान आकार के वक्र का प्रतिनिधित्व करता है।

यदि यह मदद करता है, तो मैं 2 डी स्पेस में काम कर रहा हूं। सादा पुराना एक्स और वाई है। मुझे यह भी लगता है कि इसमें गुणांक मैट्रिक्स द्वारा गुणांक गुणा करना शामिल हो सकता है? क्या यह कुछ समन्वय प्रणालियों के बीच पैमाने/अनुवाद कारक शामिल करेगा? क्या यह इस मैट्रिक्स के विपरीत होगा? मुझे लगता है कि मैं सही दिशा में आगे बढ़ रहा हूं ...

अद्यतन: समन्वय प्रणाली रैखिक रूप से संबंधित हैं। उपयोगी जानकारी होगी?

Answer 1

समस्या बयान है थोड़ा अस्पष्ट है, इसलिए पहले मैं स्पष्ट होगा:

आप एक बहुपद समारोह

च है (x) = सी _n एक्स ⁿ + सी _n-1 एक्स ^n-1 + ... + सी

तुम भी [मैं ए, बी बदल गया है, ... सी _n में जेड, सी _n-1, ..., सी और अधिक आसानी से नीचे रेखीय बीजगणित के साथ काम करने के लिए।]

फिर एक परिवर्तन किया है जैसे:   z = ax + b   कि आप ही बहुपद के लिए गुणांक खोजने के लिए उपयोग करना चाहते हैं, लेकिन z के संदर्भ में:

च (z) = डी _एन z ⁿ + डी _n-1 z ^n-1 + ... + डी

यह कुछ रेखीय बीजगणित के साथ बहुत आसानी से किया जा सकता है।विशेष रूप से, आप,

एक (n + 1) × (n + 1) मैट्रिक्स टी जो हमें आव्यूह गुणन करने के लिए

  घ की अनुमति देता है = टी * ग परिभाषित कर सकते हैं

जहां घ शीर्ष प्रविष्टि डी के साथ एक स्तंभ वेक्टर है, अंतिम प्रविष्टि डी _n, स्तंभ वेक्टर गसी _मैं गुणांक के लिए इसी तरह की है, और मैट्रिक्स टी (i, j) वें [वें मैं पंक्ति, जे ^वें स्तंभ] प्रविष्टि है टी ij द्वारा

  टी _{दी ij} = (जेमैं) चुनें एक ^मैंख ^j-मैं।

कहाँ (जेमैं चुनें) द्विपद गुणांक है, और = 0 जब मैं>जे। इसके अलावा, मानक matrices के विपरीत, मैं सोच रहा हूँ कि मैं, प्रत्येक श्रेणी 0 से एन तक (आमतौर पर आप 1 से शुरू)।

जब आप z = ax + b को हाथ से प्लग करते हैं और binomial theorem का उपयोग करते हैं तो यह मूल रूप से बहुपद के विस्तार और पुन: संपीड़न को लिखने का एक अच्छा तरीका है।

Answer 2

आप समीकरण है:

y = Ax^(n-1) + Bx^(n-2) + ... + Z 

xy अंतरिक्ष में, और आप कुछ x'y 'अंतरिक्ष में यह चाहते हैं। आपको जो चाहिए वह परिवर्तन फ़ंक्शन (x) = x 'और g (y) = y' (या h (x ') = x और j (y') = y) है। पहले मामले में आपको एक्स के लिए हल करने और वाई के लिए हल करने की आवश्यकता है। एक बार आपके पास एक्स और वाई हो जाने के बाद, आप उन परिणामों को अपने मूल समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और y 'के लिए हल कर सकते हैं।

चाहे यह छोटा हो या नहीं, एक स्थान से दूसरे स्थान पर बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले कार्यों की जटिलता पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, समीकरण जैसे:

5x = x' and 10y = y' 

परिणाम के लिए हल करने के लिए बहुत आसान कर रहे हैं

y' = 2Ax'^(n-1) + 2Bx'^(n-2) + ... + 10Z 

Answer 3

इनपुट रिक्त स्थान बीच सीधा संबंध है, तो हाँ, एक मैट्रिक्स का एक सेट को बदलने के लिए सक्षम होना चाहिए गुणांक दूसरे को।उदाहरण के लिए, अगर आप अपने "मूल" एक्स-अंतरिक्ष में अपने बहुपद था:

कुल्हाड़ी^3 + bx^2 + cx + d

और आप एक अलग w अंतरिक्ष में बदलना जहां डब्ल्यू करना चाहता था = पिक्सल + क्ष

तो आप ऐसी है कि

कुल्हाड़ी^3 + bx^2 + cx + d = a'w^3 + बी 'एक', बी ', सी', और घ 'लगाना चाहते हैं डब्ल्यू^2 + c'w + d '

और कुछ बीजगणित के साथ,

a'w^3 + b'w^2 + c'w + d '= a'p^3x^3 + 3a'p^2qx^2 + 3a'pq^2x + aq^3 + b' पी^2x^2 + 2b'pqx + b'q^2 + c'px + c'q + d '

इसलिए

एक = a'p^3

b = 3 ए' पी^प्रश्न 2 + b'p^2

c = 3a'pq^2 + 2b'pq + c'p

d = a'q^3 + b'q^2 + c'q + डी '

जिसे मैट्रिक्स समस्या के रूप में पुनः लिखा जा सकता है olved।

Answer 4

यदि मैं आपके प्रश्न को सही ढंग से समझता हूं, तो कोई गारंटी नहीं है कि समन्वय बदलने के बाद कार्य बहुपद रहेगा। उदाहरण के लिए, y = x^2, और नई समन्वय प्रणाली x '= y, y' = x दें। अब समीकरण y '= sqrt (x') बन जाता है, जो बहुपद नहीं है। इसके बारे में मेरी अपनी व्याख्या

Answer 5

टायलर का उत्तर सही जवाब है यदि आपको कई बार परिवर्तनीय z = ax + b के इस परिवर्तन की गणना करना है (मेरा मतलब कई अलग-अलग बहुपदों के लिए है)। दूसरी तरफ, यदि आपको इसे केवल एक बार करना है, तो अंतिम मूल्यांकन के साथ मैट्रिक्स के गुणांक की गणना को गठबंधन करना बहुत तेज़ है। यह करने के लिए सबसे अच्छा तरीका है प्रतीकात्मक (+ b कुल्हाड़ी) होर्नर के विधि द्वारा बिंदु पर अपने बहुपद मूल्यांकन करने के लिए है:

• आप एक वेक्टर वी में बहुपद गुणांक की दुकान (शुरुआत में, सभी गुणांक शून्य हैं), और i = n से 0 के लिए, आप इसे (ax + b) से गुणा करते हैं और सी _i जोड़ते हैं।
• निरंतर अवधि
• में जोड़कर गुणा सी _{जोड़ने मैं} का अर्थ है (जो ax + b) का अर्थ है एक वेक्टर कश्मीर में ख द्वारा सभी गुणांक गुणा, एक करके सभी गुणांक गुणा और उन्हें से दूर स्थानांतरण एक वेक्टर के में निरंतर शब्द, और के + के वापस वी में डाल दिया गया।

यह प्रोग्राम करना आसान होगा, और गणना करने के लिए तेज़ होगा।

ध्यान दें कि y = w + d में y बदलना वास्तव में आसान है। आखिरकार, जैसे मैटियस्ट बताते हैं, निर्देशांक का एक सामान्य परिवर्तन आपको बहुपद नहीं देगा।

तकनीकी नोट: अगर आप अभी भी मैट्रिक्स टी गणना करने के लिए (के रूप में टायलर द्वारा परिभाषित) चाहते हैं, तो आप इसे पास्कल के शासन के एक भारित संस्करण का उपयोग करके गणना करना चाहिए (यह क्या होर्नर गणना implicitely करता है):

टी _{i, j} = bt _{i, j-1} + _{i-1, जे-1}

इस तरह, आप स्तंभ के बाद बस यह गणना, कॉलम, बाएं से दाएं पर।