एग्नेवेक्टरों ने numpy के साथ गणना की और svd

Question

से मेल नहीं खाता एकवचन मूल्य अपघटन एम = यूएसवी * पर विचार करें। फिर एम * एम के eigenvalue अपघटन एम * एम = वी (एस * एस) वी * = वीएस * यू * यूएसवी * देता है। मैं दिखा रहा है कि eigenvectors eigh समारोह से वापस लौटे svd समारोह से लौट आए उन जैसे ही हैं द्वारा numpy के साथ इस समानता की पुष्टि करना चाहते:

import numpy as np 
np.random.seed(42) 
# create mean centered data 
A=np.random.randn(50,20) 
M= A-np.array(A.mean(0),ndmin=2) 

# svd 
U1,S1,V1=np.linalg.svd(M) 
S1=np.square(S1) 
V1=V1.T 

# eig 
S2,V2=np.linalg.eigh(np.dot(M.T,M)) 
indx=np.argsort(S2)[::-1] 
S2=S2[indx] 
V2=V2[:,indx] 

# both Vs are in orthonormal form 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V1,axis=1), np.ones(V1.shape[0]))) 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V1,axis=0), np.ones(V1.shape[1]))) 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V2,axis=1), np.ones(V2.shape[0]))) 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V2,axis=0), np.ones(V2.shape[1]))) 

assert np.all(np.isclose(S1,S2)) 
assert np.all(np.isclose(V1,V2)) 

पिछले दावे विफल रहता है। क्यूं कर?

Answer 1

बस अपनी समस्या को डीबग करने के लिए छोटी संख्याओं के साथ खेलें।

आकार (50,20)

मेरी यादृच्छिक मामले में के साथ अपने बहुत बड़ा मेट्रिक्स के बजाय A=np.random.randn(3,2) के साथ शुरू, मुझे लगता है कि

v1 = array([[-0.33872745, 0.94088454], 
    [-0.94088454, -0.33872745]]) 

और v2 के लिए:

v2 = array([[ 0.33872745, -0.94088454], 
    [ 0.94088454, 0.33872745]]) 

वे केवल के लिए अलग एक संकेत, और जाहिर है, यहां तक ​​कि अगर यूनिट मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत हो, तो वेक्टर एक संकेत के लिए भिन्न हो सकता है।

अब आप अपने मूल बड़ा मैट्रिक्स के लिए चाल की कोशिश करता है, तो

assert np.all(np.isclose(V1,-1*V2)) 

, यह विफल रहता है ... फिर, यह ठीक है। क्या होता है कि कुछ वैक्टरों को -1 से गुणा किया गया है, कुछ अन्य नहीं हैं।

वैक्टर के बीच समानता के लिए जाँच करने के लिए एक सही तरीका है:

assert allclose(abs((V1*V2).sum(0)),1.) 

और वास्तव में, यह कैसे काम करता है आप की भावना प्राप्त करने के लिए इस मात्रा मुद्रित कर सकते हैं:

(V1*V2).sum(0) 

कि वास्तव में या तो +1 या -1 वेक्टर पर निर्भर करता है:

array([ 1., -1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 
    1., -1., 1., 1., 1., -1., -1.]) 

संपादित करें: यह ज्यादातर मामलों में होगा, खासकर यदि एक यादृच्छिक मैट्रिक्स से शुरू होता है। लेकिन ध्यान दें कि इस परीक्षण की संभावना के रूप में नीचे उसकी टिप्पणी में @Sven Marnach द्वारा बताया असफल हो जायेगी अगर एक या अधिक eigenvalues ​​आयाम 1 से बड़ा का एक eigenspace है,:

वहाँ अन्य मतभेद अभी से गुणा वैक्टर से हो सकता है -1। eigenvalues ​​में से किसी एक बहु-आयामी eigenspace है, तो आप कि eigenspace की एक मनमाना orthonormal आधार मिल सकता है, और लिए इस तरह के ठिकानों एक arbitraty एकजुट मैट्रिक्स द्वारा एक दूसरे के खिलाफ घुमाया जा सकता है