यह एक मोनड नहीं है, लेकिन यह क्या है?

Question

According to the Haskell wikibook, एक Monad बुलाया m दो अतिरिक्त कार्यों के साथ एक Functor है:

unit :: a -> m a 
join :: m (m a) -> m a 

यह अच्छा है, लेकिन मैं कुछ अलग है। गोररी विवरणों पर चमकते हुए, मेरे पास एक प्रकार है जिसमें unit और join फ़ंक्शन हैं, लेकिन इसकी fmap अच्छी तरह से व्यवहार नहीं किया गया है (fmap g . fmap f आवश्यक नहीं है fmap (g.f))। इस वजह से, इसे Monad का उदाहरण नहीं बनाया जा सकता है। फिर भी, मैं इसे जितना संभव हो उतना सामान्य कार्यक्षमता देना चाहता हूं।

तो मेरा सवाल यह है कि, किस श्रेणी में सैद्धांतिक संरचनाएं मोनैड के समान हैं, जिनमें उनके पास unit और join है?

मुझे एहसास है कि कुछ स्तर पर, उपर्युक्त प्रश्न खराब परिभाषित है। मोनैड के लिए unit और join परिभाषाएं केवल fmap परिभाषा के संदर्भ में समझ में आती हैं। fmap के बिना, आप किसी भी मोनैड कानून को परिभाषित नहीं कर सकते हैं, इसलिए unit/join की किसी भी परिभाषा समान रूप से "मान्य" होगी। तो मैं fmap के अलावा अन्य कार्यों की तलाश में हूं कि इन unit और join फ़ंक्शंस पर कुछ "नॉन-मोनैड" कानूनों को परिभाषित करने का अर्थ हो सकता है।

Answer 1

वैसे यहां एक कानून है जो आपको unit और join के साथ होना चाहिए। x :: m a को देखते हुए,

join (unit x) = x 

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दिखाने के लिए कि यह सिर्फ कहीं से नहीं आया था, के लिए एक मौजूदा इकाई कानून के साथ शुरू करते हैं:

return x >>= f = f x 

यह देखते हुए कि m >>= f = join (fmap f m)

join (fmap f (return x)) = f x 

f = id

0 का चयन करें

join (fmap id (return x)) = id x 

functor कानून का उपयोग करें कि fmap id = id

join (id (return x)) = id x 

उपयोग स्पष्ट id a = a

join (return x) = x