एक ग्राफ को दृढ़ता से कनेक्ट करने के लिए रैखिक समय एल्गोरिदम

Question

हमारे पास कमजोर विश्वकोश है।

इसके अलावा हमें एक सेट ए दिया जाता है जिसमें जी के निचले हिस्से होते हैं जिसमें शून्य डिग्री होती है और एक सेट बी होता है जिसमें शून्य डिग्री होती है। (ए का आकार बी के आकार के बाद छोटा है)।

उस पर, हम यह भी जानते हैं कि यदि ए और बी में वस्तुओं का एक विशेष आदेश है (उदाहरण के लिए ए = ए 1, ए 2, ..., एम और बी = बी 1, बी 2, ..., बीएन) डीआईएफ ने एआई विज़िट द्वि (1≤ i ≤ मीटर) में शुरू किया।

क्या एक रैखिक समय एल्गोरिदम तैयार करना संभव है जिससे जी को यथासंभव कुछ किनारों के रूप में जोड़कर दृढ़ता से कनेक्ट किया जाता है?

Answer 1

आर्क्स जोड़े ख _जे -> एक _{जे जे = 1 के लिए +1}, ..., एम -1 और आर्क्स ख _जे -> एक j = मी के लिए, ... , एन।

परिणामी ग्राफ़ दृढ़ता से जुड़ा हुआ है, क्योंकि एक और ख के दृढ़ता से जोड़ा आर्क्स से जुड़े हुए हैं और एक _मैं से रास्तों _मैं ख और के लिए प्रत्येक नोड एक्स, के लिए, वहाँ i, j इस तरह है कि मौजूद वहाँ मूल ग्राफ में _i से x और मूल ग्राफ में x से b _j से मूल ग्राफ़ में एक पथ मौजूद है।

हम कम आर्क्स उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि एक निवर्तमान चाप, ख में से प्रत्येक के लिए जोड़ा जाना चाहिए ..., ख _n।

Answer 2

संपादित - के बाद कम से कम लिंक के साथ समाधान का उत्पादन नहीं करता:

आप रैखिक समय में http://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_strongly_connected_components_algorithm चला सकते हैं। मैं प्रस्ताव करता हूं कि आप ऐसा करते हैं और ध्यान दें कि "इसके किसी भी उत्तराधिकारी से पहले कोई दृढ़ता से जुड़े घटक की पहचान नहीं की जाएगी"। इसलिए ग्राफ के पहले दृढ़ता से घटक किसी भी अन्य घटकों का उत्तराधिकारी नहीं होना चाहिए। मेरा सुझाव है कि हर बार जब आप दृढ़ता से जुड़े घटक को उत्सर्जित करते हैं जिसमें कोई उत्तराधिकारी नहीं होता है, तो आप इसे इस पहले घटक से कनेक्ट करने वाला एक लिंक जोड़ते हैं। मेरा सुझाव है कि हर बार जब आप अनिवार्य रूप से तारजन एल्गोरिदम को गैर-रिकर्सिव कॉल के साथ मजबूत कनेक्ट() पर पुन: प्रारंभ करते हैं, तो पहले घटक को उस वर्टेक्स पर कनेक्ट करते हुए कनेक्ट करें जिसे आप पुनरारंभ कर रहे हैं।

इन लिंक के साथ आप पहले मजबूत घटक से दूसरे घटक, और हर दूसरे घटक से पहले मजबूत घटक तक प्राप्त कर सकते हैं। दुर्भाग्यवश यह आवश्यक रूप से कम से कम लिंक के साथ समाधान नहीं है - नीचे प्रति द्वारा दूसरी टिप्पणी देखें।