"()" जोड़े की निश्चित संख्या के लिए अभिभावक की संख्या

Question

कहें कि हम ब्रैकेट के एन जोड़े के विभिन्न कोष्ठक की संख्या गिनना चाहते हैं लेकिन निश्चित संख्या में "()" जोड़े हैं। हम इन्हें कैसे गिनते हैं।

पूर्व: एन = 3. यानी 3 parenthesizations के जोड़े के लिए , हम की कश्मीर = 2 जोड़े "()" के साथ parenthizations की संख्या चाहते हैं तरीके की संख्या है 3.

() (())

(())()

(()())

एन = 4 k = 2 के लिए

, यह हो जाएगा 6

((()()))

() ((()))

(()) (())

(() (()))

((()))()

((())())

Answer 1

मैं बहुत यकीन है कि यह A001263 है, उर्फ ​​नारायण संख्या हूँ, और सूत्र है कि

T(n,k) = C(n-1,k-1) C(n,k-1)/k with 1<=k<=n 

A001263 की

एक व्याख्या यह है कि टी (एन, ट) वास्तव में कश्मीर चोटियों के साथ डैक एन-रास्तों की संख्या है, और आप या तो ( या ) और () के रूप में प्रत्येक चोटी के रूप में प्रत्येक डैक कदम की व्याख्या कर सकते हैं।