क्या फ़ंक्शन y =^^ b * exp (-ct) पर कोई नाम है? क्या इसे रैखिकृत किया जा सकता है? मैं ए, बी, सी का अनुमान कैसे लगा सकता हूं?

Question

मैं एक गैर-रैखिक मॉडल फिट करने की कोशिश कर रहा हूं, लेकिन ऑनलाइन कोई अच्छा उदाहरण नहीं मिल रहा है।

क्या इस फ़ंक्शन का नाम है?

क्या इसे रैखिकृत किया जा सकता है?

मैं मापदंडों a, b, और c एक यादृच्छिक प्रभाव g (समूह के रूप में) के साथ समय t के एक समारोह के रूप में अनुमान लगाने के लिए नीचे दिए गए प्रयास किया है। मैं यादृच्छिक प्रभाव के बिना nls का उपयोग कर मॉडल फिट कर सकता हूं, लेकिन मॉडल को अभिसरण करने में परेशानी हो रही है। सुझावों का स्वागत है (अधिमानतः आर के भीतर, लेकिन कोई उपयुक्त पैकेज करेगा)?

## time, repeated 16 times for 4 replicates from each of 4 groups 
t <- rep(1:20, 16) 
## g, group 
g <- rep(1:4, each = 80) 

## starting to create an example dataset, 
## to see if I can recover known parameters 
a <- rep(c(3.5, 4, 4.1, 5), each = 80) 
b <- rep(c(1.1, 1.4, 1.8, 2.5), each = 80) 
c <- rep(c(0.125, 0.25), each = 160) 

## error to add to above parameters 
set.seed(1) 
e_a <- runif(320, -0.5, 0.5) 
e_b <- runif(320, -0.1, -0.1) 
e_c <- runif(320, -0.02, 0.02) 

## this is my function 

f <- function(t, a, b, c) a * (t^b) * exp(-c * t) 

## simulate y 
y <- f(t = t, a + e_a, b + e_b, c + e_c) 

mydata <- data.frame(t = t, y = y, g = g) 

library(nlme) 
## now fit the model to estimate a, b, c 
fm1 <- nlme(y ~ a * (t^b) * exp(-c * t), 
      data = mydata, 
      fixed = a + b + c~1, 
      random = a + b + c ~ 1|g, 
      start = c(a = 4, b = 1, c = 0.25), 
      method = "REML") 

Answer 1

भौतिक विज्ञान में (और कुछ अन्य क्षेत्रों) मैं इस देखा है या इसके वेरिएंट, एक Hoerl वक्र या Hoerl समारोह e.g. here कहा जाता है, हालांकि वह अन्य नाम हैं। यदि सी नकारात्मक है और और बी सकारात्मक हैं यह एक स्केल किए गए गामा घनत्व है।

जब आप इसे रैखिकरण के बारे में पूछते हैं, तो आपको सावधान रहना होगा; समीकरण वाई = ^बी पर। exp (सीटी) वास्तव में नहीं है तुम क्या मतलब है - टिप्पणियों, y (मैं), वास्तव में एक के बराबर नहीं हैं। टी (i)^बी। एक्सपी (सीटी (i)) (अन्यथा लगभग 3 अवलोकन आपको सटीक पैरामीटर मान देंगे)।

तो शोर को y किसी भी तरह से अपना मॉडल दर्ज करना होगा। क्या यह additive है? गुणात्मक, या कुछ और? (इसके अलावा महत्वपूर्ण है, लेकिन अन्य कारणों के लिए: टी परिवर्तन, या नहीं के रूप में किसी तरह से अपने आकार में बदल जाती है विभिन्न टिप्पणियों के लिए शोर शर्तों स्वतंत्र हैं??)

अपने वास्तविक मॉडल है y (मैं) = (i)^बी। एक्सपी (सीटी (i)) + ε (i), यह रैखिक नहीं है।

अपने वास्तविक मॉडल y (मैं) = पर (मैं) है^ख। एक्सपी (सीटी (i))। ε (i), और ε (i) = exp (η (i)) कुछ (उम्मीदवार शून्य-माध्य) η (i) के लिए, यह रैखिक है।

दूसरा रूप ले रहा है,

लॉग (y (मैं)) = लॉग (क) + b लॉग (टी (मैं)) + स टी (मैं) + लॉग (ε (मैं))

या

वाई * (i) = ए * + बी.लॉग (टी (i)) + सी। टी (मैं) + η (मैं)

जो मानकों में रेखीय है एक * = लॉग (एक), ख और ग, और त्रुटि अवधि η (i); इसलिए यदि आप उस त्रुटि के बारे में धारणा बनाने के लिए तैयार हैं, तो आप इस तरह के रैखिक मॉडल के लिए उपयुक्त विधियों के साथ फिट करने में सक्षम होना चाहिए; आप उस मामले में ऊपर की त्रुटि अवधि के बारे में मूलभूत प्रश्नों पर विचार करने के लिए इच्छा कर सकते हैं जो इससे प्रभावित हो सकता है कि आप इसे कैसे मॉडल करते हैं।