कैसे संख्यात्मक एकीकरण में विशिष्टता (Matlab या Mathematica में) पर काबू पाने के

Question

मैं संख्यानुसार निम्नलिखित एकीकृत करना चाहते हैं:

जहां

और a, b और β हैं स्थिरता के लिए स्थिरांक, सभी को 1 पर सेट किया जा सकता है।

न तो dblquad का उपयोग करके मैटलैब, न ही NIntegrate का उपयोग करके गणितज्ञ denominator द्वारा बनाई गई एकवचनता से निपट सकता है। चूंकि यह एक डबल अभिन्न है, इसलिए मैं निर्दिष्ट नहीं कर सकता कि गणित में एकवचन कहाँ है।

मुझे यकीन है कि यह अनंत के बाद से इस अभिन्न गड़बड़ी सिद्धांत में और

बिना मेरे द्वारा पहले (बस नहीं पाया गया है आधारित है नहीं है कर रहा हूँ तो मैं नहीं जानता कि यह कैसे है किया हुआ)।

कोई विचार?

Answer 1

(1) यदि आप स्पष्ट कोड प्रदान करते हैं तो यह सहायक होगा। इस तरह दूसरों (पढ़ा: मुझे) इसे अलग से कोड करने की आवश्यकता नहीं है।

(2) यदि अभिन्न अंग मौजूद है, तो यह शून्य होना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब आप एक्स और वाई को स्वैप करते हैं तो आप n (y) -n (x) कारक को अस्वीकार करते हैं, लेकिन बाकी को वही रखें। फिर भी एकीकरण रेंज समरूपता का अर्थ है कि आपके चर का नाम बदलने के लिए रकम है, इसलिए इसे वही रहना चाहिए।

(3) यहां कुछ कोड है जो दिखाता है कि यह शून्य होगा, कम से कम अगर हम एकवचन भाग और इसके चारों ओर एक छोटा बैंड बंद कर देते हैं।

a = 1; 
b = 1; 
beta = 1; 
eps[x_] := 2*(a-b*Cos[x]) 
n[x_] := 1/(1+Exp[beta*eps[x]]) 
delta = .001; 
pw[x_,y_] := Piecewise[{{1,Abs[Abs[x]-Abs[y]]>delta}}, 0] 

हम integrand में 1 जोड़ सिर्फ परिणाम है कि शून्य के पास हैं साथ सटीकता मुद्दों से बचने के।

NIntegrate[1+Cos[(x+y)/2]^2*(n[x]-n[y])/(eps[x]-eps[y])^2*pw[Cos[x],Cos[y]], 
    {x,-Pi,Pi}, {y,-Pi,Pi}]/(4*Pi^2) 

मुझे नीचे परिणाम मिलता है।

NIntegrate::slwcon: 
    Numerical integration converging too slowly; suspect one of the following: 
    singularity, value of the integration is 0, highly oscillatory integrand, 
    or WorkingPrecision too small. 

NIntegrate::eincr: 
    The global error of the strategy GlobalAdaptive has increased more than 
    2000 times. The global error is expected to decrease monotonically after a 
    number of integrand evaluations. Suspect one of the following: the 
    working precision is insufficient for the specified precision goal; the 
    integrand is highly oscillatory or it is not a (piecewise) smooth 
    function; or the true value of the integral is 0. Increasing the value of 
    the GlobalAdaptive option MaxErrorIncreases might lead to a convergent 
    numerical integration. NIntegrate obtained 39.4791 and 0.459541 
    for the integral and error estimates. 

Out[24]= 1.00002 

यह एक अच्छा संकेत है कि अप्रचलित परिणाम शून्य होगा।

(4) कॉस (एक्स) के लिए सीएक्स को रोकना और कॉस (वाई) के लिए साइ, और अभिसरण मूल्यांकन के प्रयोजनों के लिए बाह्य कारकों को हटाने, नीचे अभिव्यक्ति देता है।

((1 + E^(2*(1 - cx)))^(-1) - (1 + E^(2*(1 - cy)))^(-1))/ 
(2*(1 - cx) - 2*(1 - cy))^2 

cy में एक श्रृंखला विस्तार, cx पर केंद्रित है, ताकि 1. की एक पोल इंगित करता है तो यह एक विलक्षण अभिन्न प्रतीत होता है।

डैनियल Lichtblau

Answer 2

अभूतपूर्व दिखता है जैसे कौची प्रिंसिपल वैल्यू टाइप इंटीग्रल (यानी यह एक मजबूत एकवचन है)। यही कारण है कि आप मानक चतुर्भुज तकनीक लागू नहीं कर सकते हैं।

क्या आपने प्रिंसिपल वैल्यू-> मैथमैटिका इंटीग्रेट में सही कोशिश की है?

Answer 3

एक सममित सीमा पर एक अजीब integrand एकीकृत करने के बारे डैनियल अवलोकन के अतिरिक्त (ताकि समरूपता को इंगित करता है परिणाम शून्य होना चाहिए), तो आप भी ऐसा कर सकते हैं अपने अभिसरण बेहतर समझने के लिए (मैं हूँ लेटेक्स का उपयोग करें, पेन और पेपर के साथ इसे लिखना आसान बनाना चाहिए; इसे करने के लिए लिखने में काफी समय लगता है, यह जटिल नहीं है):

पहला, epsilon(x)-\epsilon(y)\propto\cos(y)-\cos(x)=2\sin(\xi_+)\sin(\xi_-) जहां मैंने \xi_\pm=(x\pm y)/2 परिभाषित किया है (इसलिए मैं ' मैंने पीआई/4 द्वारा अक्ष को घुमाया है)। \pm(\pi/\sqrt{2}-\xi_-) के बीच एकीकरण का क्षेत्र \xi_+\pi/\sqrt{2} और -\pi/\sqrt{2} और \xi_- के बीच है। फिर इंटीग्रैंड \frac{1}{\sin^2(\xi_-)\sin^2(\xi_+)} बार बिना किसी भिन्नता के फॉर्म लेता है। तो, जाहिर है, दूसरे क्रम के ध्रुव हैं, और यह प्रस्तुत के रूप में अभिसरण नहीं है।

शायद आप उन व्यक्तियों को ईमेल कर सकते हैं जिन्होंने कोस टर्म के साथ उत्तर प्राप्त किया और पूछा कि उन्होंने क्या किया है। शायद नियोजित एक शारीरिक नियमित प्रक्रिया है। या आप इस की भौतिक उत्पत्ति (कुछ प्रकार के बोसोनिक सिस्टम के लिए दूसरे क्रम में परेशान सिद्धांत) पर अधिक जानकारी दे सकते थे?), यह यहां विषय से बाहर नहीं था ...

Answer 4

क्या मुझे याद आ रही है यहां कुछ, लेकिन एकीकृत एफ [एक्स, वाई] = कॉस^2 [(एक्स + वाई)/2] * (एन [एक्स] -एन [वाई])/(ईपीएस [एक्स] -प्स [वाई]) एन [एक्स] = 1/(1 + एक्सप [बीटा * ईपीएस [एक्स]]) और ईपीएस [x] = 2 (एबी * कॉस [एक्स]) वास्तव में एक्स और वाई में एक सममित फ़ंक्शन है: f [x, -y] = एफ [-एक्स, वाई] = एफ [एक्स, वाई]। इसलिए किसी भी डोमेन पर इसका अभिन्न अंग [-u, u] x [-v, v] शून्य है। यहां कोई संख्यात्मक एकीकरण की आवश्यकता नहीं है। नतीजा सिर्फ शून्य है।