गणित

Question

में एक प्रतीकात्मक ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स बनाएं, मुझे गणित में 3 से 3 वास्तविक ऑर्थोनॉर्मल प्रतीकात्मक मैट्रिक्स बनाने की आवश्यकता है। मैं ऐसा कैसे कर सकता हूं?

Answer 1

है कि मैं इस की सिफारिश नहीं है, लेकिन ...

m = Array[a, {3, 3}]; 
{q, r} = QRDecomposition[m]; 
q2 = Simplify[q /. Conjugate -> Identity] 

तो q2 एक प्रतीकात्मक orthogonal मैट्रिक्स है (यह मानते हुए हम reals से अधिक काम करते हैं)।

Answer 2

आपको लगता है कि गणित में कुछ SO(3) समूह पैरामीट्रिजेशन चाहिए। आपके पास केवल 3 स्वतंत्र प्रतीकों (चर) होंगे, क्योंकि आपके पास वैक्टरों की आपसी औपचारिकता और 1 के बराबर मानदंडों से 6 बाधाएं हैं। एक तरीका है 3 अक्षों के आस-पास स्वतंत्र घूर्णन बनाना, और उन मैट्रिक्स को गुणा करना।

makeOrthogonalMatrix[p_Symbol, q_Symbol, t_Symbol] := 
    Module[{permute, matrixGeneratingFunctions}, 
    permute = Function[perm, Permute[Transpose[Permute[#, perm]], perm] &]; 
    matrixGeneratingFunctions = 
     Function /@ FoldList[ 
      permute[#2][#1] &, 
      {{Cos[#], 0, Sin[#]}, {0, 1, 0}, {-Sin[#], 0, Cos[#]}}, 
      {{2, 1, 3}, {3, 2, 1}}]; 
    #1.#2.#3 & @@ MapThread[Compose, {matrixGeneratingFunctions, {p, q, t}}]]; 

यह इस तरह होता है: विभिन्न स्तंभ पर Simplify का उपयोग करके

In[62]:= makeOrthogonalMatrix[x,y,z] 
Out[62]= 
{{Cos[x] Cos[z]+Sin[x] Sin[y] Sin[z],Cos[z] Sin[x] Sin[y]-Cos[x] Sin[z],Cos[y] Sin[x]}, 
{Cos[y] Sin[z],Cos[y] Cos[z],-Sin[y]}, 
{-Cos[z] Sin[x]+Cos[x] Sin[y] Sin[z],Cos[x] Cos[z] Sin[y]+Sin[x] Sin[z],Cos[x] Cos[y]}} 

आप देख सकते हैं कि मैट्रिक्स orthonormal है, (यहाँ (शायद बहुत जटिल) ऐसा करने के लिए कोड है या पंक्ति) डॉट उत्पादों।

Answer 3

मार्सेलस, आपको SO (3) के कुछ पैरामीट्रिजेशन का उपयोग करना होगा, क्योंकि आपके सामान्य मैट्रिक्स को RP³ topology of the group को प्रतिबिंबित करना होगा। कोई एकल पैरामीट्रिजेशन पूरे समूह को बहुविकल्पीयता या एकवचन बिंदुओं के बिना कवर नहीं करेगा। विकिपीडिया के विभिन्न charts on SO(3) के बारे में एक अच्छा पृष्ठ है।

शायद अवधारणात्मक रूप से सबसे सरल लेई बीजगणित से घातीय नक्शा है (3)। एक antisymmetric को परिभाषित करें, असली A (जो spans तो (3))

A = {{0, a, -c}, 
    {-a, 0, b}, 
    {c, -b, 0}}; 

फिर MatrixExp[A]SO(3) का एक तत्व है। हम जांच कर सकते हैं कि यह ऐसा है, अगर हम t^2 = a^2 + b^2 + c^2 लिखने

Transpose[MatrixExp[A]].MatrixExp[A] == IdentityMatrix[3] // Simplify 

का उपयोग कर, हम नीचे

{{ b^2 + (a^2 + c^2) Cos[t] , b c (1 - Cos[t]) + a t Sin[t], a b (1 - Cos[t]) - c t Sin[t]}, 
{b c (1 - Cos[t]) - a t Sin[t], c^2 + (a^2 + b^2) Cos[t] , a c (1 - Cos[t]) + b t Sin[t]}, 
{a b (1 - Cos[t]) + c t Sin[t], a c (1 - Cos[t]) - b t Sin[t], a^2 + (b^2 + c^2) Cos[t]}}/t^2 

को नोट मैट्रिक्स घातीय को आसान बनाने में कर सकते हैं कि इस मूलतः एक ही parametrization है RotationMatrix देता है के रूप में। उत्पादन के साथ तुलना करें से

RotationMatrix[s, {b, c, a}] // ComplexExpand // Simplify[#, Trig -> False] &; 
% /. a^2 + b^2 + c^2 -> 1 

Answer 4

मैं एक "प्रत्यक्ष" जिस तरह से विशेष ओर्थोगोनालिटी लागू करने के लिए मिल गया है। नीचे देखें।

(*DEFINITION OF ORTHOGONALITY AND SELF ADJUNCTNESS CONDITIONS:*) 
MinorMatrix[m_List?MatrixQ] := Map[Reverse, Minors[m], {0, 1}] 
CofactorMatrix[m_List?MatrixQ] := MapIndexed[#1 (-1)^(Plus @@ #2) &, MinorMatrix[m], {2}] 
UpperTriangle[ m_List?MatrixQ] := {m[[1, 1 ;; 3]], {0, m[[2, 2]], m[[2, 3]]}, {0, 0, m[[3, 3]]}}; 
FlatUpperTriangle[m_List?MatrixQ] := Flatten[{m[[1, 1 ;; 3]], m[[2, 2 ;; 3]], m[[3, 3]]}]; 
Orthogonalityconditions[m_List?MatrixQ] := Thread[FlatUpperTriangle[m.Transpose[m]] == FlatUpperTriangle[IdentityMatrix[3]]]; 
Selfadjunctconditions[m_List?MatrixQ] := Thread[FlatUpperTriangle[CofactorMatrix[m]] == FlatUpperTriangle[Transpose[m]]]; 
SO3conditions[m_List?MatrixQ] := Flatten[{Selfadjunctconditions[m], Orthogonalityconditions[m]}]; 

(*Building of an SO(3) matrix*) 
mat = Table[Subscript[m, i, j], {i, 3}, {j, 3}]; 
$Assumptions = SO3conditions[mat] 

फिर

Simplify[Det[mat]] 

देता है 1 ... और

MatrixForm[Simplify[mat.Transpose[mat]] 

पहचान मैट्रिक्स देता है; ... अंत में

MatrixForm[Simplify[CofactorMatrix[mat] - Transpose[mat]]] 

एक शून्य मैट्रिक्स देता है।

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जब मैं अपने प्रश्न से पूछा तो मैं यही देख रहा था! हालांकि, मुझे इस विधि पर अपना विचार बताएं।

मार्सेलस

Answer 5

हालांकि मैं वास्तव में अपने ही सवाल करने के लिए मार्सेलस की जवाब के विचार की तरह, यह पूरी तरह से सही है। दुर्भाग्यवश, वह परिस्थितियों में भी

Simplify[Transpose[mat] - mat] 

शून्य मैट्रिक्स का मूल्यांकन करने के परिणामस्वरूप! यह स्पष्ट रूप से सही नहीं है।

OrthogonalityConditions[m_List?MatrixQ] := Thread[Flatten[m.Transpose[m]] == Flatten[IdentityMatrix[3]]]; 
SO3Conditions[m_List?MatrixQ] := Flatten[{OrthogonalityConditions[m], Det[m] == 1}]; 

अर्थात पहचान मैट्रिक्स में अपनी पक्षांतरित परिणामों से एक रोटेशन मैट्रिक्स गुणा, और एक रोटेशन मैट्रिक्स के निर्धारक 1.